-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
이건 진짜 버근데
-
해설 보면서 이렇게 봤어야하는구나,,, 경악 하는중
-
~은 not 문제가 좀 뻔한느낌
-
전과목 3회분이 6마넌대면 개싼거아닌지
-
국어는 뻐큐나 먹으라고 해요
-
제199차 에피/센츄리온 심사 결과 (24년 8월) 0
본 제199차 심사는 2024년 8월 1일부터 8월 31일까지 접수된 신청에 대한...
-
버스 기사 때문임...
-
아 x발 꿈 0
수능 역대급 개불국어라 1컷 80인데 87점 나오는 꿈꿨네
-
하
-
으악..
-
그 가수 노래 쭉 들을거에요. 지금 오반이랑 저스디스랑 mc몽 NF 등 쭉 듣는데 추천해주세용
-
날이다
-
지금 승리 선택 시즌3랑 기출 중에서 고민 중인데 님들은 뭐하고 계신가요?
-
그저 mlb goat
-
그도 남자였다..
-
분위기무엇 4
-
퀄 어떰? 정법 이놈은 왤캐 실모가 적은거 같지
-
지금 FEED100 문학 푸는데, 24수능 수특 수완 지문이 너무 많아서 이게...
-
텔그딸 개맛있누 2
9모에서 국수 역대급 커하 찍어서 텔그로는 원래 목표 박살내고 존나 더 올라가네 ㅋㅋㅋ
-
특성화고 2점대면 점수 뭐 받을까요?
-
본인 올해 계획 ㅁㅌㅊ?
-
ㅈㄱㄴ
-
차단 어떻게 하나요? 14
제곧내에요
-
호머식채점자체가 아예 불가능함 걍 예전성적 나왔다치고 성적자체를 호머해볼까
-
텔그 ㅇㅈ 8
아.
-
공사나 항공대 갔다가는 꼬일수도있고 미국 비행학교 딱 2년 바짝 가서 비행 시간...
-
오늘 날짜로 즉시배송 희망한다고 적었는데 제발 오늘 받길 ㅜㅠㅠㅠ... 꼭 이런...
-
노베에서 공부를 시작해서 그런지 뭘 중점적으로 공부하면서 하루에 뭘 끝내야 시간이...
-
속보))) 2
오타니 50 50 달성 ㄷㄷ
-
근데 옛날부터 내신은 여학생들이 잘한다고 했는데 이건 왜 기사화 안함? 1
역시,,, 말을 줄여야지,,,
-
어 형은 전적대(예정)가 텔그에 없어… 근데 작년에 0칸 떴던 곳 지금 텔그 75%...
-
제발 씹덕이면 스즈미야 하루히 봅시다........ 아침부터 갑자기 생각났네
-
매번 자도자도 피곤한 상태,, 아웅 잘 잤다를 한번도 느껴본적이 없어요,,,...
-
수완 실모는 다 풀었어요
-
무엇보다 그 포지션을 보면 정치적으로 꼬투리 잡히기가 힘들지 지금 두창이가 목숨걸고...
-
수능땐 꼭 동홍을
-
조금만 더하고 서강대 컴퓨터공학과 가보자고!!!!!
-
아노 얘만 거의 80퍼정도 쓴듯..
-
좋은 아침이에요 6
-
미적 드릴 1
미적분 드릴 4,5 풀어보신 분 4랑 5중에 뭐가 더 어렵나요?
-
국어 실모 0
이감은 이미 오프로 풀고있어서 제외했습니다
-
생명 사설 실모 0
개어렵다 평가원은 적어도 4n점은 뜨는대 사설실모는 항상 우수수 킬러 다 틀려서...
-
쪽지가 와있는데 7
1은 떠있고 쪽지함엔 안보여요 차단한 사람이 보낸거면 이렇게 더ㅣ나??
-
책 들고 오는데 3
가방을 매일 가는 독서실에 두고 다녀서 손으로 들고 왔는데 개 쪽팔리네 ㅋㅋ...
-
약간 마약하는 느낌이에요 아무 의미도 없는 9모로 5초 동안만 뽕을 채워주는 느낌
-
진짜 의지문제임? 죽을맛임 진짜
-
일본어 << 쓸데있음?
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요