수2 복습 질문

그냥 fx 한번에 구하고 하나씩 대입해버면 되지 않나용

n=1일 때만 놓고 생각한다면 1이 아닌 실수 p와 k에 대해 (x-p)(x-k)를 인수로 가져도 괜찮죠!

g(x)가 x-r을 근으로 못가지는게 맞겠죠..?

f(x)=(x-1)^2(x-r)로 두었을 때 g(x)가 (x-r)을 인수로 가져도 (x-1)을 인수로 갖지 않는다면 등식이 성립합니다. 이후 n=2일 때 f(x)=(x-1)^2(x-2)임을 확정지을 수 있고, n=3과 n=4에서 g(x)를 결정하실 수 있습니다.

아 그런 생각은 못했네요..ㅎㅎ 극한값이0이니까, 분자의 x-1 인수>분모의 인수 x-1라서
분모가 x-1을 근으로 안 가질수도 있겠군요!!
근데, 삼차함수면 최소 한 점에서 만나지 않나요?
그게 x-1아닌가..?
x-1을 인수로 가지는 이상 나머지는 근으로 안 생기는것 같은데(뇌피셜..ㅜ)
일단 아래 풀이는 맞을까요?

n=1일 때, f(x)=(x-1)^2(x-r)로 두면 g(x)가 (x-r)을 인수로 가져도 괜찮습니다. x가 1로 가는 극한을 조사하는 상황이기 때문에 (x-1) 외의 인수는 극한이 발산하는 데 영향을 주지 않습니다. 그래서 g(x)가 (x-r)을 인수로 가져도 괜찮습니다. (x-r)(x-p) (p는 1과 r이 아닌 실수) 도 괜찮고 (x-r)^2도 괜찮습니다.

만약 r=1이라면 f(x)=(x-1)^3이고 g(x)=(x-1)^2(x-k)인데 k=1이라면 등식이 성립하지 않아 k가 1이 아닙니다. 그런데 k가 1이 아니면 n=2일 때 f(x)=(x-1)^3에서 등식이 성립할 수 없기 때문에 모순이 발생합니다. 따라서 r이 1이 아닌 실수이고, n=2와 n=3 그리고 n=4일 때도 마찬가지로 생각해 보시면 g(x)가 (x-2), (x-3), (x-4)를 인수로 갖지 말아야 함을 확인하실 수 있습니다.

아 지금 깨달았는데,
(가)조건에 의해서 g(x)는 x-1을 근으로 가지는거 아닌가요?

네, 정확히는 g(x)=(x-1)Q(x)로 두었을 때 Q(x)의 인수에 대해 이야기한 것이라 생각해주시면 감사드리겠습니다!

(x-1)을 추가로 인수로 갖는지 그렇지 않는지

정의역이 모든 실수라든지 그런 경우에는 약분 불가능한 0인수가 분모에 있으면 님 말대로 되는게 맞는데
이 문제처럼 정의역이 한정되어 있는 경우면 분모에 약분되지 않는 0인수가 있더라도 항상 수렴할 수 있죠 분모가 0이 되는 지점이 정의역 내에 포함만 안 되면

아, 그러면 문제에 모든실수에 대해서... 이런 조건이 있어야 제가 사용하는게 인정되는건가요?

f와 g 모두 다항함수이기 때문에 정의역은 실수 전체의 집합이 맞습니다. 다만 말씀하신 것처럼 n=1, 2, 3, 4일 때 각각 x=1, 2, 3, 4에서의 극한을 조사하기 때문에 x=1, 2, 3, 4 '근처'만 고려하는 것으로 바라볼 수 있고, 따라서 x가 1로 갈 때의 극한을 조사할 때 분모에 1이 아닌 실수 k에 대해 (x-k)가 있더라도 극한이 발산한다거나 함수 f(x)/g(x)가 수직 점근선을 갖는다거나 생각할 필요가 없죠!

정확히 말하면 책참님 말이 맞습니다
저는 n이 한정되어 있다는 걸 말하고 싶었습니다