재밌는 문제 풀어보셈요(10.16)(1500덕)
간단한? 정수 문제입니다.
난이도 : 2.5/5
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이 문제 n<=2p 조건을 쓰면 간단한가요? ㅋㅋ 제 풀이는 이걸 안 썼는데 (어떻게 쓸지 모르겠어서..) 안 써서 그런가 좀 어려운 문제인 듯..
답은 (n,p) =(2,2), (3,3)이다.
i) 2|n
2|(p-1)^n+1 => p=2 =>n|2 => n=2.
ii) n은 홀수이고 p의 배수가 아님.
n의 최소 소인수를 q라고 하자. p-1이 q의 배수가 아님은 당연하다.
(p-1)^2n==1 (modq), (p-1)^(q-1)==1 (modq) (by 페르마 소 정리)
=> (p-1)^gcd(2n,q-1)==1 (modq) => (p-1)^2==1 (modq) (∵q는 홀수, (q-1,n)=1)
=> q|p(p-2)=>q|p-2 => p==2 (modq) (∵p와 q는 서로 다른 소수)
=> 0==(p-1)^n+1==1+1==2 (modq) => q=2 모순.
iii) n은 홀수이고 p|n.
v_p(n)=x라 하자.
Lifting the exponent lemma에 의해
x*(p-1)≤v_p((p-1)+1)+x => (p-2)x ≤ 1 => p≤3 => p=3 (∵x≥1)
=> n^2|2^n+1. 이는 imo 1990/P3이고, 답은 n=3 하나뿐이다.
따라서 구하는 모든 (n,p)는 (2,2), (3,3)이 전부이다.