다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)

안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.

어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.

G번 문제는 다음과 같습니다.

구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.

실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.

수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.

삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)

해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.

0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는

이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식

이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서 

그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.

검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다. 

n≥2이고 x_i<x_i+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.

증명은 여기를 눌러서 보세요.

예제를 직접 만들어 봤습니다.

예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.

풀이

예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.

풀이

함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로

입니다. 계산하면

입니다.

기출문제에 적용해서 풀어봅시다. 

2024학년도 고3 7월 미적분 28번

(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로

입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면

입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.

f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.

f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.

α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)²이고, f(x)=(x-1)³+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로

따라서 

입니다.

2024/09/08   예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.