수학 잔기술 3개

안녕하세요? 지인선입니다.

오늘 칼럼 두 개 썼읍니다.

좋아요와 팔로우해주시면 더 써오겠습니다.

감사합니다.

1. 삼차함수 f(x)에 대한 추론 문제에서, f(x)가 기함수라는 조건이 주어졌다고 하자.

그럼 대충 

로 쓸 수 있겠다.

근데 문제에서 f(x)의 극값에 관한 조건이 있다.

그런데 위의 형태에서 f(x)를 미분한 도함수 f'(x)는

이라서, 도함수 값이 0이 되게 하는 x의 값은

이고, 이 값을 f(x)에다가 대입을 하면... 어우 끔찍하다.

차라리 처음에 b를 쓰는 대신 -3ap^2을 써서 (단, p>0)

이렇게 쓰면 어떨까? 이 식을 미분하면

이므로, x=p와 x=-p에서 극대극소임을 쉽게 알 수 있고, x=p를 f(x)에 대입하면

라고 쉽게 식을 쓸 수 있고, 극값 정보를 쉽게 활용 가능하다.

2. 다음 적분이 있다고 하자.

이 값을 계산할 때,

으로 전개하여서,

이렇게 계산하지 말고,

이므로,

특히, 이런 trick은 정적분함수 넓이 공식 유도에 도움이 된다.

EX) 예를 들어, 최고차항의 계수가 a인 삼차함수 f(x)가

이라 할 때, y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자. 

여기에 절댓값을 씌워주면, 

어디서 많이 본듯한 공식이 나온다.

3. 등차수열 an의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 할 때,

Sn을 

이렇게 나타내는 것이 좋다. 크게 다음과 같은 2가지 이유가 있다.

1) 최고차항인 a는 공통부분으로서 묶어지는 경우가 많기 때문이다.

예를 들어, 

이라는 조건이 주어지면, 

이라는 식에서 a는 쉽게 사라지고, k=5임을 쉽게 얻을 수 있다.

2) k가 2보다 크지 아닌지, 자연수라면 홀수인지 짝수인지에 따라 Sn의 양상이 쉽게 결정되기 때문이다.

만약 k가 2이하라면, Sn은 쭉 증가하거나 쭉 감소한다.

만약 k가 짝수인 자연수라면, (즉, k=2m이라면)

Sn은 n=m에 대하여 대칭인 관계에 있고, n=m일 때 최대나 최소를 갖는다.

그리고, 합이 2m인 두 자연수 p, q에 대하여 

이므로, 자연수 범위에서 대칭 구조를 갖는다. 또한, 

이므로, 

즉, am과 a{m+1}은 서로 부호가 반대인 관계에 있음을 알 수 있다.

만약 k가 홀수인 자연수라면, (즉, k=2m-1이라면)

Sn은 n=m-1/2에 대하여 대칭이고(자연수는 아니지만 편의상), n=m이거나 m-1일 때 최대 또는 최소이다.

그리고, 합이 2m-1인 두 자연수 p, q에 대하여 

이므로, 자연수 범위에서 대칭성을 갖는다. 또한,

으로부터

임을 알 수 있다. 

만약 k가 양수인데 자연수가 아니라면, 

이도록 하는 서로 다른 두 자연수 p, q가 존재하지 않는다. (p+q=k이어야 하므로)

따라서, Sn은 어떠한 대칭성도 갖지 않으므로, 

자연수 범위 n에서 Sn은 일대일함수이다.