중복조합을 틀리는 이유

안녕하세요. 

수학강사 이승효입니다.

최근 평가원 확통에서 가장 핫한 주제는

아무래도 중복조합이겠지요.

그런데 기출(2014-2018사이)에 있는 것처럼

식 한방에 풀리는 중복조합 문제는

이제 더이상 출제되지 않고 있습니다.

적절하게 분류해서 센다음에 더해주는 문제. 

세는 과정에서 중복조합이 살짝 활용되는 느낌이죠.

여러분이 중복조합을 틀리는 이유는 두 가지 입니다.

1) 제대로 셀줄 모르기 때문이에요. 그리고

2) 두 가지 방법으로 풀 줄 모르기 때문입니다.

흔히 경우의 수를 직접 세서 풀면

노가다 풀이라고 하면서 경시하는 경향이 있습니다.

시험에서 멋지게 답을 맞춰놓고도 

쌤~ 노가다로 풀었어요 헤헤 라고 멋쩍은 표정을 짓죠.

아니면 다 세다가 중간에 빠트려서 틀렸어요.... ㅠ

그런데 사실 경우의 수에서 가장 중요한 것은

그 노가다(라고 이제는 부르지 마세요)에서 시작됩니다.

케이스 분류 : 기준을 잡고 경우를 분류해서

순서대로 : 중간에 빠지는 것이 없도록 오름차순으로 센 후에

합의법칙 : 분류한 경우의 수들을 더하면 

수능에 나오는 모든 경우의 수는 구할 수 있습니다.

여러분이 노가다라 부르는 이것이 바로

확통 교과서에서 배우는 가장 중요한 내용이에요. 

아래는 작년 6평 나형29번 / 가형19번으로 출제된 문제입니다.

(가형은 x가 4개로 되어 있어서 조금더 어렵지만

문제 구조는 완벽하게 같습니다.)

이 문제를 푸는 방법은 크게 나눠봐도 4가지 이상이 있고,

표현은 다르지만 구조는 정확히 같은 문제가

이미 과거에 너무나도 많이 출제된 문제임에도 불구하고

작년에 많은 학생이 틀렸습니다.

가장 쉽게 푸는 방법은, 

중복조합을 조합으로 바꾸는 교과서 증명의 변형을 이용하면

30초 안에 식계산 없이 바로 답을 구할 수 있지만,

제가 이 문제를 중복조합을 배우지 않은

고2 학생들에게 풀게 한 결과 절반정도는 맞추었습니다.

그 학생들은 어떻게 풀었을까요?

x1=0일 때부터 수형도를 그려서 푼 것이지요.

맞춘 학생의 절반정도는 수형도를 그려서 계산을 하던 중에

규칙을 발견해서 조금 더 쉽게 답을 구하기는 했지만

끝까지 다 센 학생들도 그다지 시간이 오래 걸리지는 않더군요.

흥미로운 것은 그렇게 푼 학생들 중에 

계산 실수를 한 학생은 거의 없었다는 것입니다.

여러분이 만약 이러한 문제에서 자주 틀린다면

중복조합과 같은 '도구'의 노예가 된건 아닌지 생각해 봐야 해요.

중복조합이 특수한 상황에서 도움이 되는 도구인것은 맞지만 

사실 중복조합으로 풀 수 있는 모든 문제는 조합으로 풀리고,

조합으로 풀리는 문제는 수형도로도 풀리게 되어 있어요.

이런 문제는 이런 도구를 써야 해, 라는 고정관념

문제를 읽고 이게 중복조합이던가? 라고 생각하는 습관

합의 법칙과 곱의 법칙이라는 교과서 개념에 대한 무시와 무지

이것들이 여러분의 소중한 확통 성적을 떨어트립니다.

물론, 모든 문제를 시간이 오래 걸리는 방법으로 풀 필요는 없어요.

그렇지만 최소한 2가지의 방법으로 풀 수 있어야 합니다.

그래야만 효율적인 방법으로도 답을 구하고,

가장 기본적인 원리를 사용해서도 답을 구해서,

그 두 답을 비교함으로써 틀릴 확률을 0에 수렴하게 만들 수 있어요.

이렇게 두 가지 방법을 이용해서 어떤 결과가 같음을 보이는

'더블 카운팅'은 조합론에서 매우 기본적인 원칙이에요.