[일반청의미] 교과서 논란에 대한 결과 중간정리

안녕하세요. 일반청의미 이원엽입니다.

요새는 강연을 다니고 책 저자님들의 말씀 조금 더 들어보려 많이 싸돌아다니고 있네요.

어제는 대전가고, 오늘은 인천을 가고.. 그랬습니다. 하여튼 반갑습니다.

일전의 교과서 논란에 대한 중간 글을 남깁니다.

그동안 제가 했었던 것은, 

1. 교과서 풀이를 써야하는 문제를 EBS에서 찾았습니다.

2. 교과서에 수록된 문제의 해설에 대해서 자문을 구했습니다. 출판사에 먼저 자문을 구했어요.

3. 현직 학교 선생님을 찾아가서 자문을 구했습니다. 교과서, EBS 집필진이십니다.

결과를 보이겠습니다.

일단, 이 문제를 풀어보세요.

1. 교과서 풀이가 무용한 것은 아닙니다.

교과서 풀이의 이유를 찾아보시면 좋을것입니다.

또한, 교과서 풀이는 가장 기존에 배웠던 개념들과 조화가 잘되는 풀이입니다.

교과외 개념, 예를 들어 테일러급수같은 경우, 기존 개념과의 조화를 생각하기 힘들지요.

이정도를 기억해주셨으면 좋겠습니다.

2.

이 문제는 개정 교과서에 수록된 내용입니다. 분명 저도 처음보는 문항이었습니다.

또한 이 문제의 풀이는 이렇습니다.

분명한 것은, 변곡접선을 활용한 풀이가 교과서에 수록된 것은 맞습니다.

하지만, 풀이가 이상했습니다. 왜 변곡점에서의 접선의 x절편보다 작은 x축위의 점에서 그은 접선이 2개일까?

왜 1보다 크면 접선이 두개일까? 이것에 대해 교과서는 완벽한 서술을 해주지 않았습니다.

그래서, 다음과 같이 교과서 출판사에 연락하여, 자문을 구했습니다.

이번주 월요일, 2017년 9월 18일에 먼저 연락을 드렸고, 

돌아온 답변은, "이 문제는 그래프로 접선의 개수를 유추하며 풀어야하며, 그래프를 보면 답이나온다."

이렇게 답변을 해주셨고, 저는 저 그래프에 나와있지 않은 점에서의 접선의 개수가 2개인지 명확하지 않다생각했습니다.

그래서 다음과 같은 풀이와 함께, 1:1 문의를 게시하였고 질문의 전문은 다음과 같습니다.

[안녕하세요. 단국대 치과대학 본과 1학년 재학중인 이원엽이라 합니다.

현재 수학 책과 수학 강의를 제작하고 있습니다.

교과서 풀이에 의문이 있어서 연락드리게 되었습니다.

미적분 2 교과서 143페이지 11번 문항 해설입니다. 해설은 218페이지에 있습니다.

교과서 풀이에는 변곡점에서 그은 접선의 x절편과 원래 그래프의 x절편을 기준으로 접선의 개수를 파악할 수 있다고 하셨습니다.

하지만, 이 그림만으로는 x절편이 -3보다 작을 때 접선이 두개가 나오는지 확인하기 힘듭니다.

그 이유는, x가 계속 작아져, -100정도가 되는 경우는 그림에 나타내기 힘들며

접선의 개수가 2개 나올거라는 추측만 있을 뿐, 정확하게 2개라고 말하기 힘듭니다.

그것은 x가 1보다 클 때인 100정도여도 그럴것 같다는 추측밖에 할 수가 없습니다.

그림에 나타나 있지 않기 때문입니다.

제가 푼 풀이는, 접선의 방정식을 구하고, 그 접선의 방정식이 (k,0)을 지날 때를 생각하면

(k,0)을 지나는 접선의 접점이 2개면 성립한다고 생각했습니다.

이렇게 풀 때는 -3보다 작은 k에서 반드시 교점이 두개 생긴다고 단언할 수 있습니다.

그래프의 증가 감소를 알수 있기 때문입니다.

또한 이 그래프에서 공통접선은 발생하지 않습니다. 

공통접선이려면, 기울기와 y절편이 같아야합니다.

xe^x값이 같으면서, -(x^2-x+1)e^x 값도 같은 서로 다른 두개의 x는 존재하지 않기 때문입니다.

이 풀이와 유사한 풀이는 본 교과서 136페이지의 예제풀이에도 있습니다.

이러한 풀이는 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 평행이동과 관련있습니다.

예를들어, 136페이지의 풀이에는, k가 1/e보다 작아야하는데, 그 이유는 k가 1/e일 때, 접하기때문입니다.

x축과 평행한 직선은 극값에서 접합니다.

또한 점근선이 y=0이므로 0보다 k가 커야하는 것은 당연합니다.

또한 x가 0보다 작아짐에 따라 함숫값이 작아지는 것 또한 함수의 증가 감소를 통해 알 수 있습니다.

143페이지 11번에 대한 제 풀이또한 함수의 증가감소, 극대극소를 통해 x축과 평행한 직선과의 교점을 구할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

이제, 질문 드리겠습니다.

1. 본문에 적혀있는 218페이지의 해설이 적절한가요?(저는 적절하지 않다고 생각합니다.)

2. 적절하지 않다고 저는 개인적으로 생각합니다. 그 이유는 풀이의 모호성때문이라 생각합니다.

만약 어떤 논리가 있다면, 저 변곡점에서 접선을 그었을 때 풀이의 모호성이 사라질까요?

3. 변곡점에서 접선을 긋는 풀이는 교과서 어디에서 찾아볼 수 있을까요? 혹은 교육과정 어디에서 찾아볼 수 있을까요?]

 이렇게 질문을 보냈고, 저는 답변을 기다렸습니다.

아니 아직까지 처리중이래요.

22일 금요일 4시. 다시 전화를 걸었습니다. 교과서 담당자분께서 다시 자문을 맡기셨다고 합니다.

한국과학창의재단에 다시 자문을 맡기셨다고, 그쪽으로 연락을 다시 해보라고 하셨어요.

그래서 오늘 창의재단에 전화를 걸었는데, 출장으로 다음주 월요일에 다시 연락해보라 하십니다.

다음주 월요일날 공식적인 교과서 문제에 대한 답이 나오리라 생각합니다. 그때 다시 올리겠습니다.

3. 다음은 오늘 찾아뵌 고등학교 현직 선생님과의 대화입니다. 교과서 내용 질문과 답변만 썼습니다.

선생님 : 그래. 책 잘썼네. 그림도 좋고.. 그래. 물어볼게 뭐야?

원엽 : 교과서에서 해설이 이상한 부분이 있어서요. 여기. (사이)

여기보시면 이렇게 변곡점에서의 접선이 x축과 만나는 점을 기준으로, 이 왼쪽에서 접선이 두개 나오는 것에 대해서 엄밀하게 말을 할 수 없는데 결론이 나와서요.

선생님 : 분명 -3보다 작을때 2개가 나오네. 뭐가 문제인거야? 예를들어 y=x^2에서는 x값이 0이 아닌 x축위의 점에서 접선을 두개 그을 수 있지. 오목 볼록만 파악하고 그림으로 생각하면 충분히 유추할 수 있는 내용아니야?

원엽 : 두개가 나오는 것이라고 추측은 할 수 있지만, 나온다고 확신은 할 수 없는 것이 문제입니다. 그래프에 나오지 않은 k에 대해서도 그런지를 말하기 힘들어서..

선생님 : 네 말도 일리가 있네. 분명 해설은 설명이 조금 부족하긴 하다. 하지만 직관풀이도 중요해. 실제로 논리적으로 엄밀하게 푸는 학생은 적기도 하고말이야. 논술이라면 네 말이 맞지만, 답을 내는데에는 직관의 도움으로 방향을 잡는게 맞지.

원엽 : 하지만, 직관력이라는 것이 쉽게 길러지는 것은 아니라고 생각해요. 그래서 저는 공부할때만큼은 논리적으로 생각해보는 습관이 필요하다고 생각합니다. 저는 이것또한 여쭤보고 싶었어요.

선생님 : 그래프로 보이면서, 이것이 당연하다는 것을 보이는게 직관을 전달하는거야. 그 감각을 길러주는거지. 수학을 가르치면서 논리적인 것을 발전시켜주는 것도 중요하지만, 직감을 늘려주는 것도 분명 필요한거겠지?

원엽 : 혹시 이 풀이를 봐주시겠어요? (사이) 이 풀이에서는 함수의 증가감소 개념과 극대극소 개념도 같이 사용됩니다. 또한 예제풀이에서도 이러한 풀이가 사용되구요. (사이) 그리고 공통접선은 존재하지 않습니다. 기울기가 같으면서 y절편이 같아지는 서로다른 p는 존재할 수 없으니까요.

선생님 : 아 그러네. 문제가 있네. 만약 점근선이 있다면, 예를들어 네가 그린 이 그래프에서 말이야. 점근선 오른쪽으로의 (k,0)에서는 접선이 두개가 나오지 않네. 네가 얘기해줘서 방금 생각이 들었어. 음... 그렇지.

아까 내가 오목과 볼록으로 유추할 수 있다고 했는데, 그러려면 점근선도 고려를 해야겠구나.

이 문제 해설에 대한 설명이 부족하긴 한것같다. 이 문제에 대해서 물어보려고 온거 맞지?

원엽 : 네. 선생님 의견을 들으러 왔습니다.

선생님 : 교과서만큼은 엄밀한 풀이가 있어야한다는 것은 동의해. 이 문제는 교과서에 수록되기에는 좋지못한 문제인 것 같다. 하지만, 교과서 입장에서 변을 해보자면 이 문제가 교과서에 수록되었다면, 그 수록된 문제를 풀기 위해, 학생의 입장에서 직관풀이또한 충분히 할 수 있을 것 같아.

~~~

여기서 나온 결론은 다음과 같습니다.

1. 만약, 저 풀이를 쓰려면, 점근선과 변곡접선을 기준으로 왜 접선의 개수가 변하는지를 파악해야합니다.

그것이 직관적이던, 논리적이던 말이지요.

2. 직관 풀이를 학생들이 많이쓰는 이유는, 일단 직관적으로 보여야 문제의 실마리가 보이기때문입니다.

직관풀이를 아얘 배제할 수 없습니다. 풀이의 좋고 나쁨은 판단하기 애매한 것으로 보여집니다.

(이에대해 실언을 한 점 사과합니다.)

3. 그렇다해도, 논리적인 풀이는 중요합니다.

선생님과의 자문을 통한 결론으로, 논리적 풀이의 중요성을 어느정도 느낄 수 있었습니다.

그 논리적 풀이의 근거는 결국 교과서의 개념에 기반합니다.

이로써, 변곡접선에 관한 교과서 논란 중간정리를 마치겠습니다.

월요일날 답변이 올 때 다시한번 올리도록 하지요.

또한, 이렇게 논란에 대한 제 입장이 해결 될 때 언제든지 여러분과 같이 공유하겠습니다.

(출판사와의 통화내용은 원하신다면, 복원해서 개인적으로 알리겠습니다.)

첨언합니다. 저는 오르비에게 감사함을 느끼고있습니다.

저는 수험생때부터 이 사이트의 도움을 많이 받았어요.

또한, 조언도 계속 받으면서 여기에 있을 수 있게 되었습니다. 정말 감사합니다.

그래서 비판은 수용했습니다. 제가 모자란 것은, 당연히 알고 있습니다.

그래서 많은 비난을 예상하고서도, 여러분의 모든 의견에 대해 다 답변을 드리려 하였습니다.

여러분의 어떠한 의견을 무시하지 않는것은, 강사나 저자 이전인 사람의 영역입니다.

어떤 분께서는 강사가 모든 의견에 답글을 다는 것이 불편하다 하셨지만, 그래야 했습니다.

하지만, 그렇다해서 비난까지 수용하기에는 그릇이 아직 모자랍니다.

그래서, 잠시동안 오르비를 쉬려고 합니다. 혹시라도 질문이 있거나 하고싶은 말이 있으신 분들은

제 게시글의 오픈카톡방 찾아서 할말 해주시면 감사하겠습니다.

물론, 월요일날 공식적인 답장오면 당연히 여기에 올리겠습니다.

제가 모자란 것은, 당연히 알고 있습니다.

그래서 많은 비난을 예상하고서도, 여러분의 모든 의견에 대해 다 답변을 드리려 하였습니다.

누구나 하지 못할법한 시도를 계속 해보려고 노력중입니다.

비단, 수학책이나 수학 강의뿐만 아닌, 여러가지의 시도를 계속 해나가려 하고있고

지금도 이 계기를 통하여 계속해서 고민중입니다.

언제나 고민하겠지만, 그렇다해서 포기하진 않겠습니다. 제 행동이 의미없다고 생각한 적은 없습니다.

사랑해주신, 응원해주신 여러분들께 너무나도 감사드리며,

비판해주신, 그리고 비난해주신 분들도 이해하고 행운을 빌겠습니다.

일반청의미 이원엽입니다. 감사합니다.

(출판사와의 통화내용은 원하신다면, 복원해서 개인적으로 알리겠습니다.)